امتیاز موضوع:
  • 1 رأی - میانگین امتیازات: 2
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
منطقه فازی وآشوب
#1
در دهه های گذشته تحقیقات زیادی روی سیستمهای فازی و تئوری آشوب توسط مهندسین سیستم و کنترل انجام شده است. سیستمهای فازی جایگاه خود را در بسیاری صنایع مانند اتوماسیون و کنترل باز کرده اند. از طرف دیگر در دنیای مهندسی و زمانی که به کاربردهای عملی می اندیشیم، پدیده مهم آشوب خودنمایی می کند و لذا کنترل آشوب تاثیر زیادی روی افزایش عملکرد این گونه سیستمها به لحاظ زمان و انرژی خواهد داشت.

مفاهیم اولیه در سیستمهای آشوبگون

گزارش مربوط به درس advanced CI

نریمان مهدوی
شهریور 86

خلاصه ای از 3 فصل اول کتاب chaos in dynamical systems by E.Ott و 4 فصل اول کتاب fuzzy chaotic systems by Z. li

فهرست مطالب

فازی و آشوب.. 3

1- سیستمهای فازی.. 4

2- آشوب.. 5

2-1- مثالهایی از رفتار آشوبگون. 6

2-2- سیستم دینامیکی.. 7

2-3- نگاشتهای یک بعدی.. 9

2-3-1- وابستگی به شرایط اولیه. 9

2-3-2- مفهوم periodic orbit 10

2-3-3- پایداری periodic orbits. 12

2-3-4- چگال بودن. 13

2-3-5- Bifurcation. 14

2-3-6- سازماندهی چگونگی ظهور سیکلهای پریودیک... 17

2-3-7- نمای لیاپانوف.. 18

2-4- تعاریف ریاضی آشوب.. 19

2-4-1- سیستمهای گسسته یک بعدی.. 20

2-4-2- سیستمهای n بعدی.. 20

2-4-3- فضای باناخ. 22

2-4-4- مجموعه فازی متریک... 22

در دهه های گذشته تحقیقات زیادی روی سیستمهای فازی و تئوری آشوب توسط مهندسین سیستم و کنترل انجام شده است. سیستمهای فازی جایگاه خود را در بسیاری صنایع مانند اتوماسیون و کنترل باز کرده اند. از طرف دیگر در دنیای مهندسی و زمانی که به کاربردهای عملی می اندیشیم، پدیده مهم آشوب خودنمایی می کند و لذا کنترل آشوب تاثیر زیادی روی افزایش عملکرد این گونه سیستمها به لحاظ زمان و انرژی خواهد داشت.

در کنار هم قرار دادن این دو مقوله در چارچوب مفهوم محاسبات نرم می باشد. استدلالگری تقریبی و دینامیک آشوبگونه مغز انسان می تواند دلیلی بر پردازش حجم عظیمی از اطلاعات به صورت یکجا باشد. بنابراین ترکیب کردن سیستمهای فازی و تئوری آشوب دارای پتانسیل زیادی برای تحقیقات علمی و مهندسی پیش رو می باشد.

فازی و آشوب

هرچند رابطه این دو هنوز به درستی درک نشده است ولی با این حال مطالعات روی برخورد این دو با یکدیگر به حدود دو دهه پیش باز می گردد. به خصوص در زمینه های کنترل فازی آشوب [32و33] سیستمهای فازی تطبیقی برای مدلسازی آشوب [34] رابطه های تئوری میان فازی و آشوب [35و 36] مدلسازی فازی سیستمهای آشوب [37 و38] سیستمهای فازی TS آشوبگون [39و40و 41 و 42] .

منطق فازی و تئوری آشوب هر دو در حدود یک زمان پا به عرصه وجود گذاشته اند. در واقع، منطق فازی در سال 1965 توسط زاده و اولین مشاهدات آشوب توسط لورنز در سال 1963 به دنیای علم معرفی شده اند.

تئوری مجموعه های فازی سعی در مدل کردن استدلالهای انسانی دارد. در این روند از اطلاعات تقریبی و داده های نا دقیق برای تصمیم گیری در شرایط نایقینی استفاده می شود. این سیستمها در واقع نادقیقی موجود را به صورت ریاضی مدل کرده و ابزاری مناسب برای مسائل واقعی فراهم می آورند. از طرف دیگر تئوری آشوب به مطالعه کیفی رفتارهای ناپایدار و غیر نوسانی در سیستمهای غیرخطی و معین اختصاص دارد. تحقیقات نشان می دهند که توانایی مغز انسان در پردازش حجم عظیم اطلاعات به دلیل دینامیک آشوبگونه متغیر آن می باشد. لذا عقیده بر این است که منطق فازی و تئوری آشوب، هر دو به استدلال گری انسانی و پردازش اطلاعات مرتبط هستند.

بنابراین با توجه به مطالب بیان شده، یادگیری ارتباطات ما بین منطق فازی و تئوری آشوب اجازه درک بهتر از هوش انسانی را به ما خواهند داد.

1- سیستمهای فازی

با توجه به اینکه اصول این مطالب در کلاس کنترل فازی بحث شده است، در این بخش تنها به رئوس مطالب مهم و دلایل کاربرد گسترده این سیستمها اشاره می شود. شاخصه های مهم سیستمهای فازی که آن را برای بسیاری کاربردهای کنترلی مناسب ساخته است، به قرار زیر می باشد:

1) سیستمهایی ذاتا مقاوم، به این مفهوم که نیازی به ورودیهای دقیق و بدون نویز ندارند. همچنین خروجی اینگونه سیستمها در حضور گستره وسیعی از ورودیها رفتار نرم و هموار خواهد داشت.

2) از آنجا که یک کنترلر فازی مبتنی بر قوانین تعریف شده توسط فرد خبره کار می کند، به راحتی قابلیت اعمال تغییرات و اصلاح شدن را دارا می باشد. مثلا با افزودن یک ورودی به سیستم تنها کافی است قوانین مربوط به آن ورودی را در پایگاه دانش لحاظ کنیم.

3) در این گونه سیستمها این امکان فراهم می باشد که پیچیدگی و هزینه کلی سیستم کاهش یابد. زیرا، تنها کافی است از سنسورهایی استفاده شود که راجع به رفتار سیستم به ما اطلاعات بدهند و نیازی به ارائه اعداد خیلی دقیق نمی باشد.

4) در یک سیستم فازی به راحتی این امکان وجود دارد که تعداد زیادی ورودی و خروجی به طور یکتا پردازش شوند. ولی به ذلیل افزایش حجم پایگاه داده به دلیل ارتباط میان این متغیرها، بهتر است که از چند کنترل کننده مجزا در کنار یکدیگر استفاده شود.

5) کنترلرهای فازی قادر به کنترل سیستمهای غیرخطی که یافتن مدل ریاضی برای آنها کار دشواری می باشد، هستند.

6) سیستمهای فازی به دو دسته ممدانی و TS تقسیم می شوند که در فصول بعد به آنها اشاره خواهد شد.

7) سیستمهای فازی تقریب زنهای جهانی اند:

قضیه: برای هر تابع پیوسته حقیقی مثل تعریف شده روی مجموعه فشرده و هر دلخواه، یک سیستم فازی مثل وجود دارد که داشته باشیم:

لازم به ذکر است که این قضیه تنها وجود چنین سیستم فازی که قابلیت تقریب هر تابعی با دقت دلخواه را داراست، تضمین می کند ولی هیچ چیزی راجع به چگونگی یافتن این سیستم نمی گوید.

2- آشوب

بررسی روی دینامیک آشوبگون را به کار ریاضیدان فرانسوی هنری پوانکاره در شروع قرن بیستم نسبت داده اند. انگیزه وی مربوط به مطالعه روی مدار سه جرم سماوی که به یکدیگر نیروی جاذبه وارد می کردند، می شد (مثلا یک ستاره و دو سیاره). با در نظر گرفتن رفتار حرکتی آنها با توجه به نقاط شروع اولیه متفاوت، وی نشان داد که این سیستم می تواند حرکتهای خیلی پیچیده ای را تجربه کند ( امروزه به آن رفتار آشوبناک گفته می شود). علی رغم کارهای گسترده ای که در دنیای ریاضیات روی این گونه سیستم ها صورت گرفته است، ولی آشوب در سیستمهای فیزیکی واقعی به درستی بررسی نشده است. زیرا فهم مطالب بیان شده توسط ریاضیدانان برای سایر علوم مشکل بود. ولی امروزه به دلیل پیشرفت کامپیوتر ها و امکان حل عددی این دینامیکهای پیچیده، شرایط به کلی عوض شده است. در این بخش یک سری مفاهیم اولیه در آشوب بیان می شود.

2-1- مثالهایی از رفتار آشوبگون

به عنوان اولین مثال، آزمایش شاو (1984) را در نظر می گیریم. در این آزمایش یک جریان آهسته و دائمی آب که از شیر آب جریان دارد را بررسی میکنیم. قطره های آب شروع به چکیدن کرده و زمان عبور قطره ها از جلوی سنسور ثبت می شود. داده های جمع آوری شده به فرم می باشد. از روی این داده ها مدت زمان میان دو قطره متوالی اندازه گرفته می شود . زمانی که سرعت جریان آب به میزان کافی کوچک باشد، این بازه های زمانی تقریبا مساویند. با افزایش سرعت جریان آب، دنباله بازه های زمانی به صورت پریودیک خواهد شد. به این ترتیب که ابتدا یک بازه کم و سپس یک بازه زیادتر خواهیم داشت که می توان به این فرم نمایش داد . به این دنباله، پریود دو[1] می گوییم. اگر سرعت جریان آب را باز هم افزایش دهیم، دنباله هایی با پریود بیشتر مشاهده می شوند. تا اینکه از جایی به بعد، دنباله از هیچ نظم خاصی پیروی نمی کند. این دنباله نامنظم ناشی از یک دینامیک آشوبگون[2] دانسته می شود.

به عنوان دومین مثال جریان همرفتی رایلی- بنارد[3] را در نظر می گیریم که اولین بار به صورت تئوری توسط لورنز (1963) و بعدها به صورت عملی توسط افراد متعددی مثلا بنسون (1980) آزمایش شده است. در این آزمایش، با یک سیال بین دو صفحه سخت و در معرض نیروی جاذبه سر و کار داریم.

صفحه پایینی در دمایی بالاتر نگه داشته می شود. در نتیجه یک جریان همرفتی پایدار مطابق شکل بالا درون محفظه ایجاد می شود. ولی اگر اختلاف دما زیادتر شود، این جریان همرفتی با زمان تغییر می کند و این وابستگی به زمان آشوبناک خواهد بود. این رفتار در مقاله لورنز پیش بینی شده است.

در هر دو مثال قبلی، پارامتری از سیستم وجود دارد که با تغییر آن پارامتر، رفتار سیستم به سمت آشوب حرکت می کند. در مثال اول این پارامتر، سرعت جریان آب و در مثال دوم، اختلاف دما می باشد.

2-2- سیستم دینامیکی

مفاهیمی مثل فضای فاز[4]، تراژکتوری[5] ( یک پاسخ سیستم در فضای فاز) را از قبل می دانیم. به یک سیستم دینامیکی پیوسته گاهی اصطلاح flow نیز اطلاق می گردد. منطقی به نظر می رسد که بگوییم پیچیدگی یک پاسخ سیستم با افزایش بعد سیستم، افزایش می یابد. بنابراین سوالی که به ذهن می رسد این است که بزرگی بعد سیستم (N) چقدر باشد تا رخدادن آشوب ممکن شود. پاسخ سوال برای N معادله ODE مرتبه اول خودگردان به قرار زیر است: .

اکنون ببینیم وضعیت برای سیستمهای دینامیکی گسسته به چه صورت است. به این منظور ابتدا روش پوانکاره[6] توضیح داده می شود.

روش مرسوم کاهش یک سیستم پیوسته به گسسته، استفاده از تکنیک پوانکاره است که در طی آن از معادلات پیوسته با بعد N به معادلات گسسته با بعد N-1 می رسیم. در این روش یک صفحه (با بعد N-1 ) در فضای فاز N بعدی انتخاب می شود. سپس نقاط تقاطع این صفحه با پاسخ سیستم (orbit) بدست می آیند. طبیعتا نقاط برخوردی که روی این صفحه قرار دارند، از بعد N-1 می باشند. دینامیک گسسته با بعد N-1 در واقع به رابطه بین این نقاط تقاطع اختصاص دارد. معادله گسسته شده را می توان به فرم زیر نوشت:

این روش در شکل زیر برای N=3 نمایش داده شده است:

در اینجا، صفحه مذکور را به صورت در نظر گرفته ایم. ولی تاکید می کنیم که شکل این صفحه برای هر مسئله می تواند متفاوت انتخاب شود. اگر هر یک از نقاط A,B به عنوان شرط اولیه انتخاب شود، می توانیم به نقطه دیگر برسیم. به عبارت دیگر به یک نگاشت دو بعدی معکوس پذیر رسیده ایم. در حالت کلی یک دینامیک پیوسته مرتبه N با یک دینامیک گسسته معکوس پذیر از درجه N-1 برابر است. و لذا برای یک سیستم معکوس پذیر گسسته می توان گفت که آشوب در صورتی وجود خواهد داشت که باشد.

ولی اگر نگاشت ما غیر معکوس پذیر باشد، امکان رخدادن آشوب حتی در یک بعد نیز وجود خواهد داشت. نمونه معروف آن logistic map است که در ادامه راجع به ان بحث می شود.

2-3- نگاشتهای یک بعدی

همانطور که گفته شد، ساده ترین سیستمهایی که قابلیت داشتن رفتار آشوبناک را دارند، سیستمهای یک بعدی و غیر معکوس پذیر هستند. در این بخش یک سری رفتارهای سیستمهای آشوبگون را روی این سیستمهای ساده بررسی می کنیم.

2-3-1- وابستگی به شرایط اولیه

به این منظور، نگاشت tent map را در نظر می گیریم.

برای نشان دادن وابستگی به شرایط اولیه، m بار ترکیب این تابع با خودش را محاسبه می کنیم.

برای سادگی ابتدا دو بار ترکیب تابع را حساب می کنیم . لازم به ذکر است که در این حالت اگر برابر 0, 0.5, 1 باشد، خواهد بود. و اگر0.25, 0.75 باشد، داریم . لذا شکل زیر حاصل می شود:

اگر همین روال منطقی را ادامه دهیم، برای m بار ترکیب تابع با خودش نیز به این شکل خواهیم رسید:

با توجه به شکل بالا مشخص است که اگر شرط اولیه تنها به میزان ناچیز تغییر کند، خروجی سیستم می تواند هر مقداری بین صفر یا یک را اختیار کند. و با یک تغییر کوچک، خروجی از صفر به یک تغییر کند.

2-3-2- مفهوم periodic orbit

گوییم یک نگاشت دارای پاسخ با پریود p است، اگر پس از عبور از p نقطه متمایز به جایگاه اولیه خود بازگردد. یعنی چنین سیکلی را طی کند: . به این ترتیب برای تمام نقاط این سیکل می توان گفت: .

به عبارت دیگر برای یافتن سیکلهای با پریود p کافی است، نقاط ثابت نگاشت را بیابیم. اگر همین کار را برای نگاشت tent انجام دهیم و بخواهیم سیکلهای با پریود 2 را بیابیم. کافیست خط را با نمودار قطع بدهیم. به غیر از صفر در سه نقطه این نمودار را قطع می کند. نقاط صفر و ، نقاط ثابت این نگاشت بوده و دو نقطه دیگر روی پاسخ با پریود 2 قرار دارند. یعنی با اعمال متوالی این نگاشت روی 4 شرایط اولیه فوق، سیکلهای زیر را خواهیم داشت:

به این ترتیب 1 سیکل با پریود 2 برای این نگاشت موجود است.

اینبار برای همان نگاشت، پاسخهای با پریود 3 را بدست می آوریم. اگر نمودار را با خط قطع دهیم، 8 نقطه به دست می آید. از این بین نقاط ثابت نگاشت بوده و 6 تای مابقی روی سیکلهای با پریود 3 قرار دارند. به این ترتیب 2 سیکل با پریود 3 وجود دارد. این دو سیکل به قرار زیر اند:

اکنون اگر سوال مطرح شود که چند سیکل با پریود 4 وجود دارد؟ در پاسخ باید گفت که نمودار و خط همدیگر را در 16 نقطه قطع می کنند. از این میان 2 تا مربوط به نقطه ثابت و 2 تا نیز مربوط به سیکل دو تایی می باشد ( پاسخهای شامل پاسخهای می شود). بنابراین 12 نقطه جدید باقی می مانند که باید روی 3 سیکل 4 تایی قرار بگیرند. پس 3 سیکل با پریود چهار وجود دارد.

در حالت کلی اگر p عدد اول باشد، تعداد سیکلهای با پریود p به قرار زیر است:

ولی اگر p عدد اول نباشد و فاکتورهای صحیحی به فرم داشته باشد، در اینصورت یک تعداد از نقطه روی سیکلهای با پریود کمتر p1,p2,… قرار دارند. بنابراین اگر p اول نباشد، تعداد سیکلها از فرمول فوق کمتر است. مثلا برای پریود 4 دیدیم، 2 تا از انها روی پریود 2 قرار دارند.

2-3-3- پایداری periodic orbits

فرض کنیم یک سیکل پریودیک مانند در اختیار داریم. یعنی اگر از هر یک از این نقاط شروع کنیم، پس از p بار باید به جای اولیه باز گردیم. اکنون فرض کنید از این شرط اولیه به میزان دور شویم. در اینصورت پس از p بار میزان انحراف به اندازه خواهد بود.

چون کوچک است، اگر از بسط تیلور مرتبه اول استفاده کنیم، خواهیم داشت:

با استفاده از رابطه

به این ترتیب برای تمام نقاط روی سیکل یکسان بوده و برابر است با:

اکنون اگر همین سیکل را m بار دیگر نیز تکرار کنیم، این خطاها در همدیگر ضرب شده و خواهیم داشت:

بنابراین، اگر باشد، در اینصورت periodic orbit ناپایدار خواهد بود. اگر دقت شود، مثال tent map که در بالا مطرح شد، شامل این مورد خواهد شد. زیرا برای سیکل با پریود p خواهد بود. از طرف دیگر، به ازای اربیت پریودیک پایدار خواهیم داشت. در این حالت، شرایط اولیه نزدیک سیکل پایدار به سمت آن میل می کنند. به ضریب پایداری برای اربیت پریودیک می گوییم.

2-3-4- چگال بودن

اگر در مثال قبل دقت شود، به سادگی دیده خواهد شد که کلیه نقاط روی سیکلهای پریودیک درون بازه [0,1] چگال[7] هستند. به این مفهوم که برای هر x درون بازه [0,1] و هر دلخواه، حداقل یک نقطه (در واقع بیشمار از این نقاط وجود دارد) در بازه وجود دارد که روی سیکل پریودیک نیز قرار داشته باشد.

این واقعیت که نقاط پریودیک تشکیل یک مجموعه چگال را می دهند، از اهمیت زیادی برخوردار می باشد. لازم به ذکر است که، این مجموعه از نقاط، نامتناهی شمارا[8] هستند. در صورتیکه همه نقاط درون بازه مثلا [0,1] ناشمارا[9] می باشند. به این ترتیب، نقاط پریودیک[10] اگرچه چگال هستند، ولی مجموعه کوچکتری نسبت به بازه اولیه می باشند.

با توجه به مفهوم بیان شده اگر یک شرط اولیه روی [0,1] را به صورت تصادفی و از روی تابع توزیع یکنواخت استخراج کنیم، احتمال اینکه نقطه تولید شده متعلق به یک سیکل پریودیک باشد، صفر است. بنابراین شرط اولیه تصادفی منجر به سیکل پریودیک نخواهد شد. به همین دلیل برای چنین نگاشتهایی سیکلهای غیر پریودیک، سیکلهای مرسوم[11] هستند.

اکنون اگر سیکلهای مرسوم را در نظرگرفته و زمانی را که آنها در بازه دلخواه [a,b] طی می کنند با نشان دهیم به تابع ، چگالی ثابت ذاتی[12] گفته می شود.

2-3-5- Bifurcation

در این قسمت برای بیان یک سری مفاهیم تابع یک بعدی غیر معکوس پذیر دیگری را معرفی می کنیم که به نام logistic map معروف است:

در این نگاشت، تنها به ازای است که اگر در بازه [0,1] باشد، نیز در همین بازه خواهد بود. بنابراین این نگاشت را برای همین ناحیه از r مورد بررسی قرار خواهیم داد. این نگاشت دارای دو نقطه ثابت می باشد. با محاسبه مشاهده می شود که برای مبدا نقطه پایدار بوده و نقطه دیگر ناپایدار است. با افزایش r و برای نقطه پایدار شده و مبدا ناپایدار می گردد. در این حالات کل بازه [0,1] را به عنوان ناحیه جذب این نقاط پایدار می توان در نظر گرفت. به دیگر زبان می توان گفت که دو سیکل پریودیک با پریود 1 خواهیم داشت که یکی پایدار و دیگری نا پایدار است.

اکنون ببینیم برای مقادیر بزرگتر چه اتفاقی رخ می دهد. پاسخ در منحنی نمایان است

منحنی بالایی برای و منحنی پایینی برای می باشد. مشاهده می شود که با افزایش r به مقادیر بزرگتر از 3، دو نقطه نقاطع جدید ایجاد می شود که با بحثی مشابه قبل باید روی سیکل با پریود 2 قرار داشته باشند.

از طرف دیگر این سیکل با پریود 2 که درست در لحظه ناپایدار شدن نقطه ثابت قبلی ایجاد می شود، در لحظه ایجاد یک سیکل پایدار می باشد. شیب این نقاط جدید در لحظه ایجاد برابر 1 است. با افزایش بیشتر r شیب این نقاط شروع به کاهش کرده و زمانی می رسد که از 1- کوچکتر می شوند. در همین لحظه است که سیکل با پریود 2 نیز ناپایدار شده و سیکل با پریود 4 که پایدار است، متولد می شود. به این پدیده انشقاق از نوع دو برابر شدن[13] گفته می شود. در شکل زیر این روند در لحظه r=3 نشان داده شده است. خطوط خط چین ناپایداری را نشان می دهد.

اگر سیکل با پریود 1، در بازه و سیکل با پریود 2 در بازه پایدار باشد، روند انشعاب دوتایی ادامه پیدا کرده تا جایی که برای سیکلهای با پریود پایدار خواهد بود. ناحیه پایداری به تدریج کوچکتر می شود. Feigenbaum 1980 نشان داده است که این رابطه برقرار است:

پس از بی نهایت تکرار روند انشعاب به یک نقطه انباشتگی خواهیم رسید که به قرار زیر است:

عدد برای کلیه سیستمهای تلفی که انشعاب دوتایی دارند، ثابت جهانی می باشد. اگر این روند انشعاب رسم گردد به نموداری می رسیم که دیاگرام انشعاب[14] نام دارد.

با دقت در این نمودار ملاحظه می شود که جاهایی بین وجود دارد که سیکل پریودیک خودنمایی می کند. عریض ترین آنها به سیکل با پریود 3 اختصاص دارد. به ناحیه ای که سیکل با پریود 3 آغاز شده تا اینکه بار دیگر یک باند را تشکیل دهد، پنجره پریود 3[15] گفته می شود.

در حالت کلی تعداد بیشمار از این پنجره های با پریود بالا در رنج آشوبناک وجود دارد. مثلا تعداد پنجره با پریود p وجود دارد، اگر p اول باشد. به دیگر سخن، این پنجره ها در بازه آشوبناک چگال هستند. یعنی در هر بازه همواره می توان یک پنجره پریودیک پایدار یافت کرد حتی اگر رفتار ما برای این r آشوبناک باشد.

اکنون این سوال مطرح می شود که وقتی این جدب کننده های پریودیک غیر آشوبگون پایدار درون r چگال هستند، آیا باز هم جایی برای جدب کننده های آشوبگون وجود خواهد داشت؟

پاسخ به این سوال مشابه بحث قبلی می باشد. به این ترتیب که اگر عددی تصادفی انتخاب کنیم، احتمال اینکه در این مجموعه چگال باشیم صفر است. لذا برای چنین نگاشتی، آشوب رفتار مرسوم[16] خوانده می شود.

برای اینکه ببینیم سیکل پایدار با پریود 3 چگونه ایجاد می شود، کافی است که به نمودار نگاهی بیندازیم.

خط توپر به ازای r هایی است که سیکل با پریود 3 ایجاد نشده است و خط چین ها برای r هایی است که این سیکلها به وجود آمده اند. با دقت در شکل دیده می شود که با افزایش r 6 نقطه تقاطع جدید ایجاد می شوند. شیب 3 تای این نقاط کوچکتر از 1 و شیب 3 تای دیگر از 1 بیشتر است که به ترتیب تشکیل سیکلهای با پریود 3 پایدار و ناپایدار می دهند. به عبارت دیگر با افزایش r به طور همزمان دو سیکل با پریود 3 ایجاد می شود که یکی پایدار و دیگری ناپایدار می باشد. به این شکل از انشعاب، مماسی[17] گویند.

2-3-6- سازماندهی[18] چگونگی ظهور سیکلهای پریودیک

نگاشتهای یک بعدی در دینامیک احتمالی خود دارای محدودیت بیشتری نسبت به سیستمهای با ابعاد بالاتر هستند. یک نتیجه این محدودیت قضیه معروف سارکوفسکی[19] (1964) است. ترتیب زیر را برای همه اعداد مثبت در نظر بگیرید:

در این لیست ابتدا تمام اعداد فرد، سپس دو برابر اعداد فرد، بعد چهار برابر آنها و الی آخر. در انتها نیز کلیه توانهای 2 به صورت نزولی قرار دارند.

قضیه: اگر یک نگاشت پیوسته روی اعداد حقیقی، دارای سیکل با پریود p باشد و p در روند بالا قبل از l ظاهر شده باشد، در اینصورت نگاشت مذکور دارای پریود l نیز خواهد بود.

اهمیت این قضیه در این است که اگر نگاشت ما سیکل پریودیکی داشته باشد که از توان 2 نباشد، در اینصورت تعداد بیشمار سیکل پریودیک خواهد داشت. به خصوص اگر سیکل با پریود 3 داشته باشد، حتما تمامی سیکلها با پریودهای دیگر را نیز خواهد داشت. به این ترتیب در بازه ای که پنجره با پریود 3 داریم، بیشمار سیکلهای پریودیک با پریودهای متفاوت وجود دارند. ولی تمامی آنها به جز پریود 3 ناپایدارند.

علاوه بر این که سیکل پریود 3، وجود تمام سیکلهای دیگر را القا می کند، لی و یورک[20] (1975) نشان دادند که سیکل با پریود 3 وجود یک مجموعه غیر قابل شمارش از سیکلها را نیز لازم می دارد که پریودیک نبوده و رفتار غیر منظمی را از خود نشان می دهند که آنها عبارت آشوب را برای آن استفاده کردند. می توان گفت که برای مقادیری از r که سیکل با پریود 3 پایدار وجود دارد، تعداد نامتناهی و نا شمارایی از شرایط اولیه در بازه [0,1] وجود دارد که رفتار سیستم برای آنها پیچیده و آشوبناک است. ولی این شرایط اولیه دارای اندازه صفر[21] هستند.

به این مفهوم که برای یک سری شرایط اولیه خاص (نامتناهی و نا شمارا ) رفتار سیستم آشوبناک است. ولی اگر اندکی از آن شرط اولیه فاصله بگیریم، رفتار سیستم نسبت به قبل واگرا شده و به سمت سیکل با پریود 3 جذب می شود.

2-3-7- نمای لیاپانوف

یک شاخصه سیستمهای آشوبناک برای نشان دادن میزان حساسیت پاسخ سیستم به تحریکهای کوچک را از طریق این کمیت ارزیابی می کنند. برای یک نگاشت یک بعدی، این کمیت میانگین نرخ واگرایی پاسخ به شرایط اولیه نزدیک به هم را می سنجد. به این مفهوم که اگر دو شرط اولیه نزدیک به هم مثل داشته باشیم و نگاشت M را به آنها اعمال کنیم، پس از n دفعه متوالی خواهیم داشت:

به h نمای لیاپانوف برای این نگاشت گویند. به این ترتیب می توان نوشت:

بنابراین خواهیم داشت:

با توجه به بحث مژر طبیعی برای یک مجموعه، میتوان h را به صورت زیر نیز نشان داد:

برای نگاشتهای یک بعدی ثابت می شود که چنین مژری وجود دارد. ولی در حالت کلی وجود چنین مژری برای سیستمهای با ابعاد بالا اثبات نشده است و هنوز یک مسئله حل نشده است. ولی وجود آن به صورت عددی در بعضی مسائل بررسی شده است (صفحه 54 کتاب ott). در هر حال نمای لیاپانوف مثبت نشان دهنده آشوب می باشد.

2-4- تعاریف ریاضی آشوب

در این بخش سیر تحول تعاریف ریاضی آشوب ارائه می شود. این روند از تعریف آشوب برای سیستمهای گسسته یک بعدی توسط لی و یورک شروع شده و به تعمیم آن روی فضای Rn ، روی فضاهای باناخ، فضاهای متریک کامل و در نهایت فضای متریک روی مجموعه های فازی که محمل آنها Rnاست، ختم می شود.

2-4-1- سیستمهای گسسته یک بعدی

لی و یورک در مقاله خود با عنوان period three implies chaos به تحلیل سیستمهای آشوبناک یک بعدی پرداختند.

قضیه: اگر J یک بازه و باشد. اگر نقطه ای مثل وجود داشته باشد، طوریکه نامساوی زیر برقرار باشد

در آنصورت داریم:

الف) برای هر k=1,2,… یک نقطه با پریود k روی J وجود دارد.

ب) یک مجموعه ناشمارا مثل وجود دارد که شامل هیچ نقطه پریودیکی نمی شود و شرایط زیر را نیز محقق می سازد:

1) برای هر داریم

2) برای هر و نقطه پریودیک داریم

به مجموعه S در بالا، scrambled set گفته می شود.

2-4-2- سیستمهای n بعدی

قضیه ماراتو: اگر پیوسته و دارای snap-back repeller باشد، در آنصورت سیستم گسسته n بعدی به صورت تعمیم یافته از تعریف لی و یورک آشوبناک خواهد بود.

الف) عدد مثبت N وجود دارد که برای تابع f دارای نقطه ای با پریود p باشد.

ب) یک مجموعه ناشمارا مثل وجود دارد که شامل هیچ نقطه پریودیکی نمی شود و شرایط زیر را نیز محقق می سازد:

1)

2) برای هر داریم

3) برای هر و نقطه پریودیک داریم:

ج) یک زیر مجموعه ناشمارا مثل وجود دارد طوریکه برای هر داریم:

قضیه کلودن: اگر پیوسته و مجموعه های فشرده غیرتهی A,B و اعداد صحیح موجود باشند طوریکه:

الف) A همو مورفیک با گوی بسته با شعاع متناهی در باشد. (l-ball)

ب)

ج) f روی A منبسط کننده باشد.

د)

ه)

و)

ز) روی B یک به یک باشد.

در اینصورت نگاشت f آشوبناک خواهد بود طبق تعریف قضیه بالا.

اثبات این قضیه مانند قبلی است با این تفاوت که از قضیه نقطه ثابت بروور[22] و همومورفیسم گوی l استفاده می شود.

2-4-3- فضای باناخ

مشابه قضیه کلودن بر روی فضای باناخ نیز وجود دارد. با این تفاوت که در فرض الف یک همومورفیسم بین A و یک زیرمجموعه محدب از فضای باناخ X باید برقرار باشد. در اثبات آن نیز از قضیه نقطه ثابت شاودر[23] استفاده می شود.

2-4-4- مجموعه فازی متریک

مانند قبلی است. ولی بوده و A,B زیر مجموعه های فشرده و محدب از می باشند. تعریف انبساط نیز به این شکل خواهد بود:

در اثبات نیز از قضیه نقطه ثابت کالوا[24] استفاده می شود.
امضاء :

سخت کوشی هرگز کسی را نکشته است، نگرانی از آن است که انسان را از بین می برد....!
پاسخ


موضوعات مرتبط با این موضوع...
موضوع نویسنده پاسخ بازدید آخرین ارسال
  برنامه های موفق منطق فازی دراتوماسیون صنعتی WiSe 0 88 13-02-2014، 12:44 PM
آخرین ارسال: WiSe

پرش به انجمن:


کاربرانِ درحال بازدید از این موضوع: 1 مهمان