امتیاز موضوع:
  • 4 رأی - میانگین امتیازات: 2
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
مبانی هندسه
#1
هندسۀ اقلیدسی اصل توازی . . .

در دوران کهن حل نهایی مسئله ای بود که بایستی ریاضیات یونان را زمانی دراز پیش از اقلیدس به خود مشغول داشته باشد.هانس فرویدنتهال منشا هندسهواژه ی «ژئومتری» از دو واژه ی یونانی: ژئو، به معنی زمین و متراین، به معنی اندازه گیری آمده است؛ هندسه در اصل علم اندازه گیری زمین بوده است. هرودت، مورخ یونانی (سدۀ پنجم قبل از میلاد)، پیدایش هندسه را به مساحان مصری نسبت می دهد. ولی تمدن های کهن دیگر (بابلی، هندی، چینی) هم اطلاعات هندسی زیادی داشته اند.

هندسۀ پیشینیان در واقع گردآورده ای از روش های «قاعدۀ سرانگشتی» بود که از راه آزمایش، بررسی شباهت ها، حدس ها و شهودهای اتفاقی، دست یافتن به آنها میسر شده  بود.خلاصه، هندسه موضوعی تجربی بود که جوابهای تقریبی آن معمولا برای مقاصد عملی کافی بودند. بابلی های 2000 تا 1600 سال پیش از میلاد مسیح محیط دایره را 3 برابر قطرشمی گرفتند، یعنی "پی" را مساوی 3 اختیار می کردند.

این همان مقداری است که ویتروویوس معمار رومی به آن داده بود و در نوشته های چینی همان مقدار پیدا شده است. حتی یهودیان باستان این مقدار را مقدس می شمردند و می پنداشتند که کتاب مقدس آن را تثبیت کرده است(کتاب اول پادشاهان، باب هفتم، آیۀ بیست و سوم) و تلاش خاخام نهه میا برای تبدیل "پی" به 22.7 به نتیجه نرسیده بود. مصریان سال 1800 پیش از میلاد، طبق پاپیروس رایند، مقدار نقریبی "پی" را چنین می گرفته اند: (16/9)*2= 3.1604حدس های مصریان در پاره ای از موارد درست و در پاره ای دیگر نادرست بودند.یکی از کارهای برجستۀ آنان پیدا کردن دستور صحیح برای حجم هرم ناقص مربع القاعده بوده است.

از سوی دیگر، چنین می پنداشتند که دستوری که برای مساحت مستطیل صحیح است برای هر چهار ضلعی نامشخص نیز می تواند صحیح باشد. هندسۀ مصری به معنی یونانیکلمه علم نبود، بلکه صرفا انبانی بود پر از قواعد محاسبه، بی هیچ موجبی یا توجیهی.بابلیان در حساب و جبر خیلی از مصریان پیشرفته تر بودند. وانگهی، قضیۀ فیثاغورس را – که در هر مثلث قائم الزاویه مربع طول وتر مساوی با مجموع مربعات طول های دو ضلعدیگر است – خیلی پیش از آنکه فیثاغورس به دنیا بیاید می دانستند.

تحقیقات اخیر اتو نویگه باوئر تاثیر جبر بابلیان بر ریاضیات یونانی را که قبلا نادانسته بود مکشوف ساخته است.ولی یونانیان، و پیش از همه "طالس ملطی" اصرار می ورزیدند که احکام هندسی باید از راه استدلال قیاسی ثابت شوند نه از راه آزمایش و خطا. طالس با محاسبات قسمتی درست و قسمتی نادرست که از ریاضیات بابلی و مصری در دست بود آشنایی داشت. وی ضمن کوشش برای تمیز نتایج درست از نادرست، نخستین هندسۀ منطقی را بنیاد نهاد.(طالس به سبب پیشگویی خورشیدگرفتگی سال 585 پیش از میلاد نیز مشهور است).استخراج منظم قضایا از راه اثبات، از مشخصات ریاضیات یونانی و کاملا تازه بوده است.نظام بخشی و تابع اصول سازی که با طالس آغز شده بود، مدت دو سده توسط فیثاغورس و شاگردانش ادامه یافت.

معاصران فیثاغورس در او به دیده ی پیامبری دینیمی نگریستند. او به ابدیت روح و تناسخ معتقد بود. او از پیروان خود یک «جمعیت برادری» تشکیل داد که آداب تهذیب و تزکیه ای خاص خود داشت، و پیرو عقاید گیاهخواری و اشتراکو یگانگی با خدا را از راه مطالعه موسیقی و ریاضی میسر می دانستند. در موسیقی، فیثاغورس نسبتهای صحیح فواصل هارمونیک را حساب کرد. در ریاضیات، خواص مرموز و شگفت انگیز اعداد را تعلیم می داد. کتاب هفتم اصول اقلیدس که کتابی دربارۀ نگرۀ اعداد است، در مکتب او آموخته می شد.

زمانی که فیثاغورسیان طولهای گنگ، نظیر "رادیکال 2" را کشف کردند به سختی یکه خوردند.در آغاز کوشیدند که این کشف را پوشیده نگاه دارند.پروکلوس مورخ می نویسد: «همه می دانیم مردی که نخستین بارنگرۀ اعداد گنگ را آشکار ساخت هنگام غرق یک کستی از میان رفت، تا چیزی که بیان نشدنی و تصور ناپذیر استبرای همیشه پوشیده بماند.» از آنجایی که فیثاغورسیان "رادیکال 2" را عدد نمی شمردند، جبر خود را به صورت هندسی در آوردند تا بتوانند رادیکال 2 و طولهای گنگ دیگر را توسط پاره خط (به طور مثال رادیکال 2 را با قطر مربعی به ضلع واحد) نشان دهند.

پی ریزی منظم هندسه ی مسطحه توسط مکبت فیثاغورس را بقراط ریاضیدان (با طبیبی به همین نام غلط نشود) در حدود سال 400 پیش از میلاد مسیح در کتاب "اصول" سرو صورتی داد. با این که این کتاب گم شده است، می توانیم با اطمینان خاطر بگوییم که قسمت اعظمکتابهای اول تا چهارم اصول اقلیدس را، که یک سده بعد منتشر شده، در برداشته است.فیثاغورسیان هرگز قادر نبودند نگرۀ تناسبهایی را که بر طولهای گنگ نیز جاری باشد بسط دهند. این کار بعد توسط ائودوکسوس، که نگره اش در کتاب پنجم اصول اقلیدس گنجانیده شده است، انجام گرفت.

سدۀ چهارم پیش از میلاد مسیح ناظر شکوفایی آکادمی علوم و فلسفه ی افلاطون (که در حدود سال 387 پیش از میلاد بنیاد نهاده شد) بود. افلاطون در کتاب جمهوریت می نویسد:«مطالعات ریاضیات دستگاهی ذهنی را توسعه می دهد و به کار می اندازد که ارزش آن از هزار چشم بیشتر است، زیرا که درک حقیقت فقط از راه ریاضی میسر است.» افلاطون می آموخت که جهان اندیشه مهمتر از جهان مادی حواس است. زیرا که این جهان سایۀ جهان اولی است.جهان مادی غاری است ناروشن که بر روی دیوارهای آن تنها سایه های جهان واقعی خارج را که به نور خورشید روشن شده است، می بینیم.

خطاهای حواس باید از راه تمرکز فکراصلاح شوند، که خود این تمرکز از راه مطالعۀ ریاضیات بهتر میسر می شود. روش سقراطی محاوره، اصولا روش اثبات نامستقیم است؛ که با آن نشان داده می شود که حکم زمانی نادرست است که به تناقضی منجر شود. افلاطون به طور مکرر اثبات گنگ بودن طول قطر مربعی به اضلاع واحد را به عنوان مثالی برای یک روش اثبات نامستقیم (-> برهان خلف، فصل دوم، صفحات 33-35) آورده است. نکته اینجاست که این گنگ بودن طول هرگز نمی توانسته از راه اندازه گیری های عینی، که همیشه متضمن یک حاشیه ی کوچک تجربی خطاست، کشف شود ...


*برگرفته از کتاب "هندسه های اقلیدسی و نااقلیدسی " نوشتۀ : ماروین جی گرینبرگ / ترجمۀ : م. هـ. شفیعی ها مرکز نشر دانشگاهی * 

بچه های ریاضی، این ترم اگه می خواین درس "مبانی هندسه" رو بگیرین، من از آقای طاهریان (کسی که قراره این درس رو این ترم ارائه بده) منبع رو پرسیدم،ایشونم گفتن که منبع درس این کتابه!

پیروز و سربلند باشین در ترم پیش رو

 


 

 
فقط در خصوص تاپیک "دلخوری" میگم که بیایید بند دهان را ببندیم و بال اندیشه را بگشاییم!

یه کمی کاشکی فکر می کردین،
توی این چند قت اخیر،تاپیک های علمی آقا سعید(مدیر عامل راهکار گستر قرن) واقعا بار علمی سایت رو بالا بردن،
مثلا، "دوست داشتی امضای نفر قبلیت مال تو بود" و امثالهم!


مارا به خیر شما امید نیست، شر رو کم می کنیم!





پاسخ
 سپاس شده توسط Hamid Jafary Pooya ، motahare ، نوید خزدوز
#2
من دوباره این درسا دارم این ترم ![img]images/smilies/exclamation.gif[/img]
ولی انصافا درس و کتاب قشنگی ِ ، آدم از خوندنش لذت میبره[img]images/smilies/wink.gif[/img]
پاسخ
 سپاس شده توسط Dash @li
#3
آدم ها فقط به امید زنده اند......
زیاد غصه گذشته رو نخور...به قولی:ان که در گذشته است در گذشته است.....
دوستان عیب کنندم که چرا دل به تودادم


باید اول به تو گفتن که چنین خوب چرایی

پاسخ
 سپاس شده توسط motahare


پرش به انجمن:


کاربرانِ درحال بازدید از این موضوع: 1 مهمان